设n阶方阵A满足A*A+A-I=0，试证矩阵A可逆

要证明矩阵A可逆，我们需要证明存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

给定的方程是A*A+A-I=0，我们可以将其转化为：

A(A+I) = I

注意到这里，A+I是一个矩阵，我们试图找到一个矩阵B使得(A+I)B=I。如果能找到这样的B，那么我们就证明了A可逆，且A的逆为B。

现在考虑右边的矩阵方程(A+I)X=I。这是一个线性方程组，我们可以用克莱姆法则或者高斯消元法来求解。由于A*I=I，所以AX=0（这里的0表示零矩阵）是这个线性方程组的一个解。

但是，我们还需要验证这个解是否唯一。为此，我们考虑(A+I)的行列式。

记|A+I|=D，对原方程两边同时左乘(A+I)的伴随矩阵(A+I)^(-1)，得到：

(A+I)^(-1)*(A+I)X = (A+I)^(-1)*I

化简得X = (A+I)^(-1)。

如果D≠0，那么(A+I)^(-1)存在，即X存在且唯一，也就是说(A+I)可逆。

现在我们回到A*A+A-I=0，将A提出来，得到：

A(A+I) = I

所以A*(A+I)^(-1) = I，即A的逆为(A+I)^(-1)。

因此，当|A+I|≠0时，矩阵A可逆。

接下来我们只需要证明|A+I|≠0。

假设|A+I|=0，那么根据克拉默法则或者秩-零度定理，可知(A+I)X=0有非零解。但这就与我们之前得出的AX=0是(A+I)X=I的唯一解矛盾。所以我们的假设不成立，即|A+I|≠0。

综上所述，矩阵A可逆。