求y=x/1+x^2的渐近线
游客
发布于 2023-12-22
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求函数y=x/(1+x^2)的渐近线。横轴渐近线：当y趋于0时，即x趋向于±∞时，函数值趋近于0。所以，x轴（y=0）是函数的一条水平渐近线。纵轴渐近线：当x趋于±∞时，如果y也趋于某个常数或±∞，那么y轴就是函数的纵轴渐近线。但是在这个函数中，当x趋于±∞时，y的值并不趋于一个常数或±∞，所以该函数没有纵轴渐近线。斜渐近线：当|x|趋于∞时，如果函数可以被表示为y=mx+n+o(1/x)，那么y=mx+n就是函数的斜渐近线。对于函数y=x/(1+x^2)，我们可以进行如下化简： y = x/(1+x^2) = 1/((1/x) + x) 当|x|趋于∞时，分母中的(1/x)和x项都趋于∞，所以需要进一步分析。我们可以令t=1/x或者t=x，得到： 当x趋于+∞时，t=1/x趋于0，此时y=t/(1+t^2)。 当x趋于-∞时，t=x，此时y=1/(t+t^2)。 对于这两种情况，我们都无法找到一个m使得y≈mx+n。因此，该函数没有斜渐近线。总结：函数y=x/(1+x^2)只有一条水平渐近线，即x轴（y=0）。