抛物线中，焦点到切线的距离一定垂直于切线吗

游客发布于 2023-12-22 阅读（27）

在抛物线中，焦点到切线的距离不一定垂直于切线。

抛物线的标准方程为y²=2px（其中p是焦点到准线的距离）。设切线与抛物线相交于点P(x0, y0)，则该点处的切线斜率为k=y0/p。因此，切线方程为y-y0=k(x-x0)。

焦点F的坐标为(F, 0)，其中F=p/2。要判断焦点到切线的距离是否垂直于切线，需要看焦点F到切线的法线是否与切线垂直。

法线的方向向量可以由切线的方向向量得到，即(-1/k, 1)。焦点F到切线的法线方程为(y-0)=(-1/k)(x-F)。

如果焦点到切线的距离垂直于切线，那么切线的方向向量和法线的方向向量应相互垂直，即它们的点积为0。但是计算一下：

(1, k) · (-1/k, 1) = -1/k + k = (k²-1)/k。

只有当k²=1时，即k=±1时，这个点积才为0，也就是说，只有当切线的斜率为±1时，焦点到切线的距离才垂直于切线。而对于一般的抛物线和切线，这种情况并不总是成立。

所以，焦点到抛物线切线的距离不一定垂直于切线。