二重积分中含边界点的一些小闭区域求和极限为零，可以略去不计？

游客发布于 2023-12-24 阅读（27）

在二重积分中，如果存在一些小的闭区域，其面积趋向于零，并且这些区域包含在积分区域的边界点附近，那么在某些情况下，这些小区域的贡献可以忽略不计。

这主要是基于极限的思想。如果这些小区域的面积足够小，那么函数在这些区域上的积分值也会非常小。当这些区域的面积趋于零时，其对应的积分值也会趋于零。因此，在计算总体积分时，可以忽略这些小区域的贡献。

然而，这个结论并非总是成立的。以下是一些需要考虑的情况：

函数的行为：如果函数在边界点附近有极值（例如无穷大或无穷小），那么即使区域面积很小，其积分值也可能很大。在这种情况下，不能简单地忽略这些小区域。

积分的性质：对于某些类型的积分（如黎曼积分或勒贝格积分），需要满足一定的条件才能确保可以忽略边界点附近的小区域。例如，函数需要在积分区域上是可积的。

精确度要求：如果你需要得到高精度的结果，那么可能需要考虑这些小区域的贡献，即使它们的面积很小。

因此，是否可以忽略边界点附近的小闭区域，取决于具体的问题和函数的行为。在大多数常规情况下，如果这些小区域的面积确实趋于零，并且函数在该区域上是连续和平稳的，那么可以认为这些小区域的贡献为零并忽略它们。但是，在进行这样的简化之前，最好检查一下上述提到的特殊情况。

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