三角形五心的五心的性质

三角形的五心包括重心、外心、内心、垂心和旁心，它们各自具有以下性质：

重心（Centroid）：

是三条中线（连接顶点与对边中点的线段）的交点。

到顶点的距离与到该顶点对边中点的距离之比为2:1。

平分重心所在的中线。

在重心处悬挂的小三角形与原三角形相似，并且面积是原三角形面积的1/3。

外心（Circumcenter）：

是三边垂直平分线（过边中点且垂直于该边的线段）的交点。

到三个顶点的距离相等，因此是三角形外接圆的圆心。

如果三角形是锐角三角形，外心在三角形内部；如果三角形是直角或钝角三角形，外心在三角形外部。

内心（Incenter）：

是三条角平分线（将内角等分的线段）的交点。

到三边的距离相等，因此是三角形内切圆的圆心。

与各边的接触点将每条边等分为两段，且这两段长度相等。

垂心（Orthocenter）：

是三条高线（从顶点垂直于对边的线段）的交点。

对于任意一条高线，垂心将它分成两个部分，这两部分与垂足和其他两个顶点构成的三角形面积相等。

旁心（Excenters）：

旁心有三个，分别对应于三角形的三个角。

每个旁心是通过一个顶点和该顶点外角的角平分线与另两边的延长线的交点。

旁心是三角形的外接圆与以该顶点为圆心、以到另外两个顶点距离为半径的圆的交点。

这些性质描述了三角形五心的基本特征和它们与三角形各元素的关系。这些性质在几何问题和计算中常常起到关键作用。