求微分方程xdy/dx-2y=x³e^x在初始条件y|(x=1)=0下的特解.

这是一个一阶线性微分方程。我们可以先将其化为标准形式：

xdy/dx - 2y = x^2e^x

为了找到积分因子，我们需要解这个等式：

d(x^-2) = -2/x dx

积分得到：

-∫x^-2 dx = -∫2/x dx

x^-1 + C = -2ln|x| + C'

所以积分因子是I = e^(∫x^-1 dx) = ex/|x|

现在我们将原方程两边都乘以积分因子：

ex/|x| * (xdy/dx - 2y) = ex/|x| * x^2e^x

这将方程转化为exact方程的形式：

d(yex/|x|) = x^2e^2x dx

现在我们可以对方程两边进行积分：

∫d(yex/|x|) = ∫x^2e^2x dx

ye^x/|x| = (1/2)e^2x + C

给定初始条件y|(x=1)=0，我们可以解出常数C：

0 = (1/2)e^2 + C

C = -e^2/2

所以特解为：

y = e^x/|x| * (-(1/2)e^x + e^2/(2x))

注意：由于x在指数和分母中，所以这个解在x=0处是未定义的。在实际应用中，可能需要根据问题的具体背景来确定解的适用范围。

求微分方程xdy&#47;dx-2y=x&#179;e^x在初始条件y|(x=1)=0下的特解.