已知方程y^x=tan(xy)确定的函数y=f(x)，求函数的微分dy
游客
发布于 2023-12-22
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这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求解其微分。链式法则表示为：如果y=f(u)且u=g(x)，那么dy/dx = f'(u) * g'(x)。在这个问题中，我们有两个函数：一个是y^x，另一个是tan(xy)。我们可以将它们分别看作f(u)和g(x)。设u=y^x，那么f(u)=u，f'(u)=du/du=1。设v=xy，那么g(x)=tan(v)，g'(x)=d(tan(v))/dx=d(tan(v))/dv * dv/dx。根据链式法则和导数公式，我们有d(tan(v))/dv = sec^2(v)，而dv/dx=y。所以，g'(x)=sec^2(v) * y。现在我们可以将u和v代回原方程，得到g'(x)=sec^2(xy) * y。因此，根据链式法则，dy/dx = f'(u) * g'(x) = 1 * sec^2(xy) * y。所以，dy = sec^2(xy) * y dx。